Представляя город с населением менее пяти тысяч человек на Фарерских островах, «Клаксвик» десятилетиями оставался местной футбольной силой, стабильно завоёвывая национальные чемпионские титулы — клуб, основанный в 1904 году, обладает 21 чемпионским титулом, что делает его вторым по титулованности клубом в истории архипелага после «ХБ Торсхавн». Однако европейская история клуба долгое время ограничивалась июльскими поражениями в первых раундах квалификации. Настоящий перелом наступил в начале 2020-х годов, когда клуб перешёл к профессиональным управленческим структурам, что быстро привело к беспрецедентному успеху на международной арене.
Итоговой вехой в истории клуба стал сенсационный европейский поход в сезоне 2023/24, потрясший весь футбольный мир. В квалификации Лиги чемпионов «Клаксвик» сначала сыграл вничью 0:0 дома против фаворита — чемпиона Венгрии «Ференцвароша», а затем добился ошеломляющей победы 3:0 в Будапеште, выбив венгров из турнира. В следующем раунде клуб выбил из борьбы чемпиона Швеции «Хеккен» после драматичного противостояния, завершившегося со счётом 3:3 по сумме двух матчей и победой в серии пенальти 4:3. Путь «Клаксвика» завершил в третьем квалификационном раунде норвежский «Мольде», однако уже добытые результаты обеспечили клубу историческое место в осеннем групповом этапе еврокубка — впервые в истории для представителя Фарерских островов (в Лиге конференций УЕФА). Оказавшись там, фарерская команда не собиралась быть статистом против более состоятельных соперников, добившись безголевой ничьей с французским «Лиллем» и памятной победы над словенской «Олимпией» из Любляны.
С точки зрения внутреннего первенства и статистики «Клаксвик» — настоящий гигант с уникальной структурой состава. Наряду с легионерами в команде по-прежнему выступают игроки, совмещающие профессиональный футбол с повседневной работой на островах — например, в рыбоперерабатывающей отрасли или местных ремёслах. Из-за строгих требований УЕФА к стадионам команда вынуждена проводить свои домашние европейские матчи в столице, Торсхавне, поскольку собственный живописный стадион клуба в Клаксвике, Við Djúpumýrar, не соответствует необходимым критериям. Для футбольных аналитиков и составителей баз данных «Клаксвик» сегодня представляет собой уникальный кейс клуба, который в одиночку поднимает весь страновой коэффициент УЕФА для Фарерских островов, доказывая, что последовательность и тактическая дисциплина способны по-настоящему пошатнуть элитный футбольный истеблишмент.