Reprezentując liczące niespełna pięć tysięcy mieszkańców miasto na Wyspach Owczych, KÍ Klaksvík przez dekady pozostawał lokalną potęgą, systematycznie zdobywając krajowe mistrzostwa - klub założony w 1904 roku ma na koncie 21 tytułów mistrzowskich, co czyni go drugim najbardziej utytułowanym zespołem w historii wysp, ustępującym jedynie HB Tórshavn. Przez wiele lat europejska historia klubu ograniczała się jednak głównie do lipcowych porażek w pierwszych rundach eliminacyjnych. Prawdziwy przełom nastąpił na początku lat 20. XXI wieku, gdy klub przeszedł transformację w kierunku profesjonalnych struktur zarządzania, co szybko przełożyło się na bezprecedensowe sukcesy na arenie międzynarodowej.
Ostatecznym kamieniem milowym w historii klubu okazała się sensacyjna kampania europejska w sezonie 2023/24, która wstrząsnęła całym piłkarskim światem. W eliminacjach Ligi Mistrzów Klaksvík odprawił z kwitkiem faworyzowanych mistrzów Węgier, Ferencváros, remisując 0:0 u siebie, a następnie triumfując aż 3:0 w Budapeszcie. W kolejnej rundzie zespół wyeliminował mistrzów Szwecji, BK Häcken, po dwóch bezbramkowych remisach... a właściwie po dramatycznym dwumeczu zakończonym wynikiem 3:3 i zwycięstwem 4:3 w rzutach karnych. Dopiero w trzeciej rundzie drogę Wyspiarzom zagrodził norweski Molde, jednak dzięki dotychczasowemu przebiegowi rywalizacji klub i tak zapewnił sobie historyczne miejsce w jesiennej fazie grupowej europejskich pucharów - jako pierwszy w historii reprezentant Wysp Owczych, który tego dokonał (w Lidze Konferencji UEFA). Tam farerski zespół nie zamierzał być jedynie chłopcem do bicia wobec zamożniejszych rywali, notując bezbramkowy remis z francuskim Lille OSC oraz pamiętne zwycięstwo nad słoweńską Olimpiją Lublana.
Z krajowej i statystycznej perspektywy KÍ jest absolutnym gigantem o unikalnej strukturze. Obok zagranicznych wzmocnień w składzie wciąż występują zawodnicy łączący profesjonalną karierę piłkarską z codzienną pracą na wyspach - na przykład w przetwórstwie ryb czy lokalnym rzemiośle. Ze względu na surowe wymogi stadionowe UEFA drużyna zmuszona jest rozgrywać swoje europejskie mecze domowe w stolicy, Tórshavn, ponieważ malowniczy obiekt klubu w Klaksvík (Við Djúpumýrar) nie spełnia wymaganych kryteriów. Dla analityków piłkarskich i twórców baz danych KÍ Klaksvík stanowi dziś unikalny przypadek klubu, który samodzielnie winduje cały narodowy współczynnik UEFA Wysp Owczych, dowodząc, że konsekwencja i dyscyplina taktyczna potrafią naprawdę zachwiać piłkarskim establishmentem.